Всё вы­ра­же­ние долж­но быть целым чис­лом. В чис­ли­те­ле у нас стоит число 2  — целое число. Чтобы вся дробь была целым чис­лом, то чис­ли­тель дол­жен де­лить­ся на зна­ме­на­тель на­це­ло, от­сю­да зна­ме­на­тель  — один из де­ли­те­лей числа 2. Это числа 1, 2, −1, −2(речь идёт не о на­ту­раль­ных, а о целых чис­лах). Таким об­ра­зом, надо ре­шить сле­ду­ю­щие урав­не­ния:

1)   то есть или   — но n не целое, что про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи, этот слу­чай не под­хо­дит;

2)   то есть или   — под­хо­дит;

3)   то есть или   — под­хо­дит;

4)   то есть или   — не целое число, не под­хо­дит.

Таким об­ра­зом, и Сумма:

Ответ: −7.

Пер­вый по­ку­па­тель купил 15-лит­ро­вый и 18-лит­ро­вый бо­чон­ки. Вто­рой  — 16-лит­ро­вый, 19-лит­ро­вый и 31-лит­ро­вый. Остал­ся не про­дан­ным 20-лит­ро­вый бо­чо­нок.

Ответ: 20.

Если Петя про­едет 18 участ­ков и про­бе­жит остав­ши­е­ся он за­тра­тит мин. При этом Васе, на­о­бо­рот, до­ста­нет­ся про­ехать 24 участ­ка, а про­бе­жать 18, на что уйдет  мин  — то же самое время. Если же Петя про­едет мень­шее число участ­ков, то его время (и, со­от­вет­ствен­но, время ко­ман­ды) уве­ли­чит­ся. Если Петя про­едет боль­шее ко­ли­че­ство участ­ков, то уве­ли­чит­ся время Васи (и время ко­ман­ды).

До­ста­точ­но обо­зна­чить число про­ез­жа­е­мых Петей участ­ков через x и ре­шить урав­не­ние

Ответ: 18.

За­пи­шем ОД3: Тогда

Пер­вый слу­чай. Если то Имеем В этом слу­чае в левой части пре­об­ра­зо­ван­но­го урав­не­ния будет вы­ра­же­ние, от­лич­ное от нуля при любом x из ОД3 урав­не­ния, а в пра­вой части - нуль. Сле­до­ва­тель­но, при дан­ное урав­не­ние ре­ше­ний не имеет, то есть удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

Вто­рой слу­чай. Тогда

Так как то по­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний тогда и толь­ко тогда, когда ⩽ 0. Решая это не­ра­вен­ство, по­лу­чим

Так как в пер­вом слу­чае по­ка­за­но, что также удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи, то по­лу­чим

Ответ:

По усло­вию имеем три по­сле­до­ва­тель­ных члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: b₁, Со­ста­вим пер­вые три члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

или

от­сю­да

Раз­де­лим одно урав­не­ние си­сте­мы на дру­гое, затем пе­ре­мно­жим край­ние с сред­ние члены про­пор­ции, при­ве­дем по­доб­ные члены и по­лу­чим сле­ду­ю­щее урав­не­ние:

Решим это урав­не­ние и по­лу­чим, что и Под­ста­вим эти зна­че­ния в си­сте­му урав­не­ний и най­дем или

Най­дем или

Ответ: или

Сло­жив все три урав­не­ния си­сте­мы, по­лу­чим урав­не­ние

из ко­то­ро­го най­дем или Под­став­ляя вме­сто числа 12 и −12, по­лу­чим в пер­вом слу­чае: а во вто­ром:

Ответ: (2; 4; 6), (−2; −4; −6).

Пусть пря­мая BF пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ос­но­ва­ния AD в точке N. Тогда

Пусть пря­мая BF пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ос­но­ва­ния AD в точке N. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BCF и NDF сле­ду­ет, что Тре­уголь­ни­ки AMN и EMB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том

по­это­му вы­со­та MP тре­уголь­ни­ка AMN в 4 раза боль­ше вы­со­ты MQ тре­уголь­ни­ка BME, а так как то По­сколь­ку то вы­со­та FG тре­уголь­ни­ка FDN вдвое мень­ше вы­со­ты BH тре­уголь­ни­ка ABN, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Точки −3 и 3 (корни вы­ра­же­ний, сто­я­щих под мо­ду­лем) раз­би­ва­ют всю чис­ло­вую ось на три ин­тер­ва­ла, на каж­дом из ко­то­рых сле­ду­ет рас­крыть мо­ду­ли.

1)  При вы­пол­ня­ет­ся

и не­ра­вен­ство имеет вид то есть В этом слу­чае ответ [3; 4,5].

2)  При вы­пол­ня­ет­ся

не­ра­вен­ство имеет вид то есть Это не­ра­вен­ство верно при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной x, и, с уче­том того, что мы ре­ша­ем его на мно­же­стве по­лу­ча­ем ответ во вто­ром слу­чае [−3; 3].

3)  При вы­пол­ня­ет­ся

не­ра­вен­ство пре­об­ра­зу­ет­ся к и ре­ше­ние в этом слу­чае [−4,5; −3]. Общее ре­ше­ние не­ра­вен­ства  — объ­еди­не­ние трех по­лу­чен­ных от­ве­тов.

Ответ: [−4,5; 4,5].

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой По­лу­чим от­ку­да

Ответ: 0,5.

Ис­поль­зу­ем свой­ства ло­га­риф­мов. За­ме­тим, что

Под­став­ляя в ис­ход­ное вы­ра­же­ние, по­лу­чим:

Ответ: 4.

Сна­ча­ла решим урав­не­ние, ис­поль­зуя свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции.

Тогда

Ответ: 4.

Пусть x не­из­вест­ное число. Тогда 0,6x равно зна­че­нию вы­ра­же­ния

Вы­чис­лим его:

Тогда сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 10.

Дробь равна нулю, если чис­ли­тель дроби равен нулю, а зна­ме­на­тель не равен нулю. Здесь надо рас­смот­реть 3 слу­чая.

1)  Решим урав­не­ние

Оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если дис­кри­ми­нант равен нулю:

Дис­кри­ми­нант равен нулю при Не­труд­но убе­дить­ся, что при этом α ис­ход­ное урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние

2)  Если дис­кри­ми­нант боль­ше нуля, то урав­не­ние

имеет два корня. Если при этом один ко­рень равен 1, то квад­рат­ный трех­член в раз­ло­же­нии будет иметь мно­жи­тель ко­то­рый со­кра­тит­ся со зна­ме­на­те­лем дроби, и тогда ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь одно ре­ше­ние. Под­ста­вим в урав­не­ние

по­лу­чим

то есть Не­труд­но убе­дить­ся, что при этом α ис­ход­ное урав­не­ние тоже имеет одно ре­ше­ние

3)  Если ко­эф­фи­ци­ент при x² в квад­рат­ном трех­чле­не равен нулю, то в чис­ли­те­ле оста­нет­ся мно­го­член пер­во­го по­ряд­ка или При этом α ис­ход­ное урав­не­ние тоже имеет одно ре­ше­ние Скла­ды­ва­ем най­ден­ные

Ответ: −6.

Обо­зна­чим по­сле­до­ва­тель­ные числа гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии b, bq, bq². Тогда числа b, bq, bq²−9 со­ста­вят ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. По свой­ству ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии bq равен по­лу­сум­ме со­сед­них чле­нов. По­лу­чим си­сте­му:

или

Решая си­сте­му, по­лу­чим и Так как гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия убы­ва­ю­щая, то

Ответ: 0,25.

Решим за­да­чу по дей­стви­ям:

1)  

2)  

3)  

4)  по­лу­чи­ли про­пор­цию то есть

Ответ: 10.

Решим за­да­чу по дей­стви­ям:

1)  

2)  

3)  

Ответ: 6.

Пусть Тогда Урав­не­ние при­мет вид Пе­ре­но­сим t в пра­вую часть и воз­во­дим обе части урав­не­ния в куб. По­лу­чим

Ре­ша­ем квад­рат­ное урав­не­ние

По­лу­чим и Воз­вра­ща­ясь к пе­ре­мен­ной x, имеем и

Сумма кор­ней равна 62.

Ответ: 62.

Сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мые:

За­ме­тим, что числа 4030, 4022, 4014, 4006, ... об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, у ко­то­рой и Най­дем сумму пер­вых пяти чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Итого:

Ответ: 40 140.

Вы­пи­шем об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний:

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пер­вое урав­не­ние имеет ко­рень   — не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Кор­нем вто­ро­го яв­ля­ет­ся то есть

Вы­бе­рем из мно­же­ства ре­ше­ний такие, что По­лу­ча­ем един­ствен­ный ко­рень

Ответ:

Рас­крыв знак мо­ду­ля и про­ве­дя пре­об­ра­зо­ва­ния, по­лу­ча­ем: при не­ра­вен­ство при­мет вид

при по­лу­чим не­ра­вен­ство

то есть фи­гу­ра, за­дан­ная ис­ход­ным не­ра­вен­ством имеет вид (см. левый рис.). Чтобы найти пло­щадь фи­гу­ры, про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния (см. пра­вый рис.).

Тогда пло­щадь фи­гу­ры можно найти по фор­му­ле:

Вы­чис­ля­ем пло­ща­ди, вхо­дя­щих в фор­му­лу объ­ек­тов:

Ра­ди­ус из­ве­стен, легко по­ка­зать, что OAB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. На­хо­дим ис­ко­мую пло­щадь за­дан­ной фи­гу­ры:

Ответ: 704.